Question

函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x，（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心坐标；
（2）若A为锐角三角形ABC的最大角，求f（A）的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）将函数进行化简，根据三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最小正周期和对称中心坐标；
（2）根据锐角三角形的性质，确定A的取值范围，即可得到结论．

解答： 解：（1）由条件，f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
根据公式，最小正周期T=

2π

2

=π，
对称中心横坐标x应该满足2x+

π

4

=kπ，即x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z，此时y=1，
所以对称中心为（

kπ

2

-

π

8

，1）．
（2）因为A为锐角三角形ABC的最大角，所以A∈[

π

3

，

π

2

），
所以2A+

π

4

∈[

11π

12

，

5π

4

），由单调性，f（A）∈（0，

3 +1

2

]．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的关系式进行化简是解决本题的关键．