Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：
①M={（x，y）|y=-

1

x

}    ②M={（x，y）|y=x²-1}
③M={（x，y）|y=e^x-2}   ④M={（x，y）|y=cosx}
其中是“垂直对点集”的序号是

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题,推理和证明

分析：任意实数（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则对于任意点P（x₁，y₁），在M中存在另一个点P′（x₂，y₂），使

OP

⊥

OP′

．再对四个集合进行判断即可．

解答： 解：任意实数（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则对于任意点P（x₁，y₁），在M中存在另一个点P′（x₂，y₂），使

OP

⊥

OP′

．
对于①，根据反比例函数的图象特点，过坐标原点且相互垂直的直线不可能同时与曲线y=-

1

x

有交点，如在y=-

1

x

上取点P（-1，1），连接OM，过原点与OM垂直的直线只能是第一，三象限的角平分线，与曲线y=-

1

x

无交点，故①错误；
对于②，根据二次函数y=x²-1的图象，当过原点作出一条直线与图象相交时，同时可以作出过原点且与它垂直的直线与二次函数相交，满足定义，故②正确；
对于③，根据函数的图象，对于图象上任一点P，在曲线上存在点与原点的连线，与OP垂直，故③正确；
对于④，根据余弦函数的图象，对于图上任一点P，在曲线上存在点与原点的连线与OP垂直，故④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，解答的关键是对新定义的理解，是中档题．