Question

函数y=log_a（x²-ax+2）在[2，+∞）恒为正，则实数a的范围是

 

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得x²-ax+1＞0在[2，+∞）恒成立，当a＞1时，应有

a 2 ≥2 4-a2 4 ＞0

①，或

1 2 ＜ a 2 ＜2 4-2a+1＞0

②．由此求得a的范围．当0＜a＜1时，由题意可得，对数的真数 x²-ax+2在[2，+∞）上的范围为（0，1），
由

0＜a＜1 0＜4-2a+1＜1

，求得a的范围，综合可得结论．

解答： 解：由函数y=log_a（x²-ax+2）在[2，+∞）恒为正，
可得x²-ax+2＞1，即x²-ax+1＞0在[2，+∞）恒成立，
∴当a＞1时，应有  

a 2 ≥2 4-a2 4 ＞0

 ①，或

1 2 ＜ a 2 ＜2 4-2a+1＞0

②．
解①求得a∈∅，解②求得1＜a＜

5

2

．
当0＜a＜1时，由题意可得，对数的真数 x²-ax+2在[2，+∞）上的范围为（0，1），
此时，0＜

a

2

＜

1

2

，由

0＜a＜1 0＜4-2a+1＜1

，求得a∈∅．
综上可得，实数a的范围为（1，

5

2

）．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．