Question

双曲线C与椭圆

x2

8

+

y2

4

=1有相同的焦点，直线y=

3

x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：计算题,反证法

分析：求出椭圆的焦点坐标；据双曲线的系数满足c²=a²+b²；双曲线的渐近线的方程与系数的关系列出方程组，求出a，b，写出双曲线方程．

解答： 解：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）（1分）
由椭圆

x2

8

+

y2

4

=1，求得两焦点为（-2，0），（2，0），（3分）
∴对于双曲线C：c=2．（4分）
又y=

3

x为双曲线C的一条渐近线，
∴

b

a

=

3

                                                 （6分）
解得a=1，b=

3

，（9分）
∴双曲线C的方程为x2-

y2

3

=1．（10分）

点评：本题考查利用待定系数法求圆锥曲线的方程其中椭圆中三系数的关系是：a²=b²+c²；双曲线中系数的关系是：c²=a²+b²．