Question

已知

a

，

b

，

c

在同一平面内，且

a

=（-1，2）．
（1）若

c

=（m-1，3m），且

c

∥

a

，求m的值；
（2）若|

a

-

b

|=3，且（

a

+2

b

）⊥（2

a

-

b

），求

a

-

b

与

b

的夹角．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量共线定理即可得出．
（2）利用向量垂直与数量积的关系、向量的夹角公式即可得出．

解答： 解：（1）由

c

∥

a

，
∴2（m-1）+3m=0，解得m=

2

5

．
（2）∵

a

=（-1，2），∴|

a

|=

5

．
∵（

a

+2

b

）⊥（2

a

-

b

），∴（

a

+2

b

）•（2

a

-

b

）=0，
化为2

a

2+3

a

•

b

-2

b

2=0，∴10+3

a

•

b

-2

b

2=0，
由|

a

-

b

|=3，得

a

2-2

a

•

b

+

b

2=9，即-2

a

•

b

+

b

2=4，
解之得，

a

•

b

=2，

b

2=8．
设

a

-

b

与

b

的夹角为θ．
则cosθ=

( a - b )• b

| a - b | | b |

=

a • b - b 2

| a - b | | b |

=

2-8

3×2 2

=-

2

2

，
又θ∈[0，π]，∴θ=

3π

4

．
即

a

-

b

与

b

的夹角为

3π

4

．

点评：本题考查了向量共线定理、量垂直与数量积的关系、向量的夹角公式，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．