Question

已知数列{a_n}满足a₂=-

1

7

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N）．
（1）求a₁的值；
（2）求证：数列{

1

an

+（-1）ⁿ}是等比数列；
（3）设c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：对任意的n∈N^*，T_n＜

2

3

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式和已知即可得出；
（2）两边取倒数，再变形和利用等比数列的定义和通项公式，即可得到结论．
（3）利用放缩法和等比数列的前n项和公式即可得出结论．

解答： （1）解：由a₂=

a1

a1-2

=-

1

7

，解得a₁=

1

4

 …（2分）
（2）证明：∵a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

，
∴

1

an

+（-1）ⁿ=-2[

1

an-1

+（-1）^n-1]，
∵

1

a1

-1=3≠0，…（6分）
∴数列{

1

an

+（-1）ⁿ}是以3为首项，公比为-2的等比数列．…（7分）
（3）解：由（2）得

1

an

+（-1）ⁿ=3•（-2）^n-1．…（8分）
∴

1

an

=3•（-2）^n-1-（-1）ⁿ，
∴a_n=

1

3•(-2)n-1-(-1)n

，…（10分）
∴c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

=

1

3•(-2)n-1-(-1)n

•（-1）^n-1=

1

3•2n-1+1

＜

1

3•2n-1

．…（12分）
∴T_n＜

1 3 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=

2

3

[1-(

1

2

)n]＜

2

3

．…（14分）

点评：熟练掌握递推式的意义、取倒数法、再变形和利用等比数列的定义和通项公式、放缩法和等比数列的前n项和公式是解题的关键．