Question

已知单调递增的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=2，S₃=7．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n+1（n∈N^*），数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n，求证T_n＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的通项公式,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（I）设首项为a₁，公比为q，根据等比数列的通项公式和求和公式联立方程求得a₁和为q，进而可得数列的通项公式．
（Ⅱ）把（I）中求得的a_n代入到c_n中，进而利用裂项法求得数列{

1

bnbn+1

}的前n项之和T_n，即可证明结论．

解答： （I）解：设首项为a₁，公比为q，
由条件可得a₁q=2，a₁+a₁q+a₁q²=7
∵q＞1，
∴q=2，a₁=1，∴a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（Ⅱ）证明：∵b_n=log₂a_n+1=log₂2ⁿ=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

≥1-

1

2

＞

3

4

．

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式和数列的求和问题．考查了学生对数列基本知识的掌握