Question

已知函数f（x）=x²（x-a）（a∈R），
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的极值点；
（Ⅱ）若存在x₀∈[1，2]时，使得不等式f（x₀）＜-1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数在某点取得极值的条件

专题：转化思想,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=3时，求出函数的导数，通过导数为0，判断函数的单调性，然后求f（x）的极值点；
（Ⅱ）存在x₀∈[1，2]，使得不等式f（x₀）＜-1成立，转化为f（x）在[1，2]上的最小值小于-1．通过对a的讨论求出函数的最小值，然后实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ） 由题意f（x）=x²（x-3），f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）…（1分）
由f'（x）=0，解得x=0或x=2；
当x＜0或x＞2时，f′（x）＞0，所以f（x）是单调递增，
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，所以f（x）单调递减    …（3分）
所以x=0是极大值点，x=2是极小值  …（4分）
（Ⅱ） 存在x₀∈[1，2]时，不等式f（x₀）＜-1成立等价于f（x）在[1，2]上的最小值小于-1．
设此最小值为m，而f′(x)=3x2-2ax=3x(x-

2

3

a)x∈[1，2]
（1）a≤0时，f′（x）＞0，x∈[1，2]
则f（x）是区间[1，2]上的增函数，所以m=f（1）=1-a…（6分）
（2）a＞0时，
当x＜0或x＞

2

3

a时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间[

2

3

a，+∞)上是增函数
当0＜x＜

2

3

a时，f′（x）＜0，所以f（x）在区间[0，

2

3

a]上是减函数…（8分）
①当

2

3

a≥2，即a≥3时，f（x）在x∈[1，2]上单调递减，
∴m=f（2）=8-4a    …（9分）
②当1≤

2

3

a＜2，即

3

2

≤a＜3时，f（x）在x∈[1，

2

3

a]上单调递减，
在x∈[

2

3

a，2]上单调递增，
∴m=f(

2

3

a)=-

4a3

27

…（10分）
③当0＜

2

3

a＜1即0＜a＜

3

2

时，f（x）在x∈[1，2]上单调递增，
∴m=f（1）=1-a．…1（1分）
综上所述，所求函数的最小值m=

1-a，(a≤ 3 2 ) - 4a3 27 ，( 3 2 ＜a＜3) 4(2-a)，(a≥3)

…（12分）
令m＜-1，解上述三个不等式得：a＞

3 3 2

2

…（14分）

点评：本题考查函数的导数的综合应用，存在性问题以及函数的最值极值点的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．