Question

数列{b_n}前n项和为S_n，且满足Sn=

3

2

bn-n (n∈N*)，若数列{a_n}满足a1=1，an=bn(

1

b1

+

1

b2

+…

1

bn-1

) (n≥2，n∈N*)
（1）求b₁，b₂及b_n；
（2）证明

an+1

an+1

=

bn

bn+1

(n≥2，n∈N*)；
（3）求证：(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)＜3(n∈N*)．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=

3

2

b_n-n，得S_n-1=

3

2

b_n-1-（n-1），n≥2，n∈N^*，所以b_n=3b_n-1+2，由此可知b_n=3ⁿ-1；
（2）由条件可得

an

bn

=

1

b1

+

1

b2

+…

1

bn-1

①，

an+1

bn+1

=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

+

1

bn

②，②-①即可得出结论；
（3）左边=4（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

+

1

bn

），再利用放缩法，即可证明．

解答： （1）解：因为S_n=

3

2

b_n-n，所以S_n-1=

3

2

b_n-1-（n-1），n≥2，n∈N^*
两式相减得b_n=3b_n-1+2
所以b_n+1=3（b_n-1+1），n≥2，n∈N^*
因为S₁=

3

2

b₁-1，所以b₁=2，b₂=8．
又因为b₁+1=3，所以{b_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列
所以b_n+1=3ⁿ，所以b_n=3ⁿ-1．
（2）证明：

an

bn

=

1

b1

+

1

b2

+…

1

bn-1

①，

an+1

bn+1

=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

+

1

bn

②，
②-①得

an+1

bn+1

-

an

bn

=

1

bn

，∴

an+1

bn-1

=

an+1

bn

，∴

an+1

an+1

=

bn

bn+1

(n≥2，n∈N*)；
（3）证明：左边=

a1+1

a1

•

a2+1

a2

•…•

an+1

an

=

a1+1

a1a2

•

b2

b3

•…•

bn

bn+1

•a_n+1
=

a1+1

a1

•

b2

a2

•…•

an+1

bn+1

=4（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

+

1

bn

），
∵

1

3n-1

＜

3n+1

(3n-1)(3n+1-1)

=

3

2

（

1

3n-1

-

1

3n+1-1

）
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

+

1

bn

=

1

2

+

1

8

+…+

1

3n-1

＜

3

2

（

1

2

-

1

3n+1-1

）＜

3

4

，
∴(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)＜3(n∈N*)．

点评：本题考查数列知识的综合运用和不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，解题时要认真审题，仔细解答．