Question

数列{a_n}的前n的和S_n，且3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，其中t＞0，n∈N^*，n≥2．_nnnn
（1）求证：数列{a_n}是等比数列．
（2）设数列{a_n}的公比为f（t），数列b1=1，bn=f(

1

bn-1

)(n≥2)，求数列{b_n}的通项．
（3）记T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…-b_2nb_2n+1，求证：Tn≤-

20

9

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，可得3ts_n-1-（2t+3）s_n-2=3t，两式相减可得数列a_n与a_n-1的递推关系，从而可证．
（2）由（1）可得f（t），代入整理可得b_n-b_n-1=

2

3

，利用等差数列的通项公式可求．
（3）把所求式两项结合，分组求和，即可得出结论．

解答： （1）证明：∵3ts_n-（2t+3）s_n-1=3t∴3ts_n-1-（2t+3）s_n-2=3t（n＞2）
两式相减可得3t（s_n-s_n-1）-（2t+3）（s_n-1-s_n-2）=0
整理可得3ta_n=（2t+3）a_n-1（n≥3）
∴

an

an-1

=

2t+3

3t

，
∵a₁=1，∴a₂=

2t+3

3t

，
∴

a2

a1

=

2t+3

3t

∴数列{a_n}是以1为首项，以

2t+3

3t

为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可得f（t）=

2t+3

3t

．
在数列{b_n}中，b_n=f（

1

bn-1

）=

2• 1 bn-1 +3

3• 1 bn-1

=b_n-1+

2

3

，
∴b_n-b_n-1=

2

3

∴数列{b_n}以1为首项，以

2

3

为公差的等差数列
∴b_n=1+（n-1）×

2

3

=

2

3

n+

1

3

；
（3）证明：T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…-b_2nb_2n+1=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=-

4

3

（b₂+b₄+…+b_2n）=-

4

3

（

2

3

n2+n）≤-

20

9

．

点评：本题主要考查了利用递推关系实现数列和与项的相互转化，进而求通项公式，等差数列的通项公式的运用，数列的求和．