Question

数列{a_n}，满足a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，?n∈N*，m∈[-1，1]，t²-2mt-

15

2

＜bn恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用叠加法求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项求和法求出和，最后利用不等式恒成立的条件即可获得问题的解答．

解答： 解：（1）∵a_n-a_n-1-2n=0，
∴a_n-a_n-1=2n，
∴a₂-a₁=2×2，
a₃-a₂=2×3，
…
a_n-a_n-1=2n，
叠加可得a_n-a₁=2（2+3…+n），
∵a₁=2，
∴a_n=n²+n；
（2）∵a_n=n²+n，∴

1

an

=

1

n

-

1

n+1

∴b_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

∵t²-2mt-

15

2

＜bn恒成立，
∴t²-2mt-

15

2

＜

1

2

，
∴t²-2mt-8＜0，
∵m∈[-1，1]，
∴

t2-2t-8＜0 t2+2t-8＜0

，
∴-2＜t＜2．

点评：本题考查的是数列通项的求法与不等式的综合问题．在解答的过程当中充分体现了解方程的思想、裂项求和法等知识．