Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+2n+1，且n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

2n+1

anan+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n．如果对于任意的n∈N^*，都有T_n＞m，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知递推公式可利用叠加法求解数列的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的前n项和为T_n，求出数列的最值即可求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵a_n+1=a_n+2n+1，
∴a_n+1-a_n=2n+1
∴a₂-a₁=2+1
a₃-a₂=4+1
…
a_n-a_n-1=2（n-1）+1
以上n-1个式子相加可得，a_n-a₁=2+4+…+2n-2+（n-1）=n²-1
∵a₁=1，
∴a_n=n²；
（2）由（1）知b_n=

2n+1

anan+1

=

1

n2

-

1

(n+1)2

，
∴T_n=（

1

12

-

1

22

）+（

1

22

-

1

32

）+…+（

1

n2

-

1

(n+1)2

）=1-

1

(n+1)2

∴数列{b_n}是递增数列，
∴最小值为1-

1

(1+1)2

=

3

4

，只需要

3

4

＞m，
∴实数m的取值范围（-∞，

3

4

）．

点评：本题考查了利用递推公式求数列的通项公式以及数列求和的应用，考查了累加法．属于基本方法的简单应用