Question

（Ⅰ）已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求

1

x

+

4

y

的最小值；
（Ⅱ）设0＜x＜2，求函数y=3

x(2-x)

的最大值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）把

1

x

+

4

y

转化为（x+y）（

1

x

+

4

y

），展开后利用基本不等式求得最值．
（Ⅱ）根据x的范围判断出2-x＞0，进而根据基本不等式的性质求得y的最大值．

解答： （Ⅰ）已知x＞0，y＞0，且x+y=1，
则

1

x

+

4

y

=（x+y）（

1

x

+

4

y

）=

y

x

+

4x

y

+5≥9，
当且仅当y=2x，即x=

1

3

，y=

2

3

时，

1

x

+

4

y

取得最小值9．
（Ⅱ）0＜x＜2，则2-x＞0，
函数y=3

x(2-x)

≤3•

x+2-x

2

=3，
当且仅当x=1时，y取得最大值3．

点评：本题主要考查了基本不等式的应用．基本不等式是解决最值问题时常用的方法，但要特别注意等号条件的满足．