Question

已知曲线C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t为参数），C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ为参数）．
（Ⅰ）化C₁，C₂的方程为普通方程；
（Ⅱ）若C₁上的点P对应的参数为t=

π

2

，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C3：

x=3+2t y=-2+t

（t为参数）距离的最小值及此时Q点坐标．

Answer 1

考点：圆的参数方程,参数方程化成普通方程,直线的参数方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把曲线的参数方程消去参数，化为直角坐标方程．
（Ⅱ）当t=

π

2

时，求得Q（8cosθ，3sinθ），M（-2+4cosθ，2+

3

2

sinθ），C₃为直线x-2y-7=0，由M到C₃的距离d=

5

|sin（α-θ）-

13

5

|，由此求得d取得最小值以及此时对应的θ，可得此时Q点的坐标．

解答： （Ⅰ）把曲线C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t为参数），消去参数化为普通方程为：（x+4）²+（y-3）²=1；
把曲线C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ为参数），消去参数化为普通方程为：

x2

64

+

y2

9

=1．
（Ⅱ）当t=

π

2

时，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M（-2+4cosθ，2+

3

2

sinθ），
C₃为直线x-2y-7=0，M到C₃的距离d=

5

5

|4cosθ-3sinθ-13|=

5

|sin（α-θ）-

13

5

|，
其中，sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
从而当cosθ=

4

5

，sinθ=-

3

5

时，d取得最小值

8 5

5

，
所以此时Q点的坐标为（

32

5

，-

9

5

）．

点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．