Question

如图，在直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA₁=3．
（Ⅰ）求异面直线AD₁与BD所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求直线B₁C₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间角

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，先求出AB，可得

BD

=(-

3

，3，0)，而

AD1

=(0，3，3)，利用向量的夹角公式，即可求异面直线AD₁与BD所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求出平面ACD₁的一个法向量，利用向量的夹角公式，求直线B₁C₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，AB，AD，AA₁两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设AB=t，则相关各点的坐标为：A（0，0，0），B（t，0，0），B₁（t，0，3），C（t，1，0），C₁（t，1，3），D（0，3，0），D₁（0，3，3）．
从而

B1D

=（-t，3，-3），

AC

=（t，1，0），

BD

=（-t，3，0）．
因为AC⊥BD，所以

AC

•

BD

=-t²+3+0=0．
解得t=

3

或t=-

3

（舍去）．
所以

BD

=(-

3

，3，0)，而

AD1

=(0，3，3)，
所以cos?

BD

，

AD1

＞=

BD • AD1

| BD |•| AD1 |

=

9

2 3 ×3 2

=

6

4

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

AD1

=（0，3，3），

AC

=（

3

，1，0），

B1C1

=（0，1，0）．
设

n

=（x，y，z）是平面ACD₁的一个法向量，则

3 x+y=0 3y+3z=0

令x=1，则

n

=（1，-

3

，

3

）．
设直线B₁C₁与平面ACD₁所成角为θ，则
sinθ=|cos＜

n

，

B1C1

＞|=

3

7

=

21

7

．
即直线B₁C₁与平面ACD₁所成角的正弦值为

21

7

．

点评：本题给出直四棱柱，求异面直线、直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、空间向量等知识，属于中档题．