Question

设各项为正的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：2S_n=a_n•（a_n+1）；数列{b_n}满足：b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*），且b₁=1．
（1）求a_n和b_n；
（2）设T_n为数列{

1

bn+2n

}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）确定数列{a_n}是以a₁=1为首项，1为公差的等差数列，可求数列{a_n}的通项；利用叠加法求数列{b_n}的通项；
（2）利用裂项求和可求T_n，从而T_n≤λa_n+1对一切n∈N^*恒成立，可转化为

n

n+2

≤λ（n+1）对一切n∈N^*恒成立，结合数列的单调性，即可得出结论．

解答： 解：（1）n=1时，2S₁=a₁•（a₁+1），∴a₁=1
∵2S_n=a_n•（a_n+1），
∴n≥2时，2S_n-1=a_n-1•（a_n-1+1），
两式相减，整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，1为公差的等差数列，
∴a_n=n；
∵b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=

n(n-1)

2

+1=

n2-n+2

2

n=1时也成立，
∴b_n=

n2-n+2

2

；
（2）

1

bn+2n

=

2

n2+3n+2

=2（

1

n+1

-

1

n+2

），
∴T_n=2（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）=

n

n+2

，
∵T_n≤λa_n+1对一切n∈N^*恒成立，
∴

n

n+2

≤λ（n+1）对一切n∈N^*恒成立，
∴λ≥

n

(n+2)(n+1)

．
∵

n

(n+2)(n+1)

=

1

n+ 2 n +3

≤

1

1+2+3

=

1

6

（n=1或2），
∴λ≥

1

6

，
∴实数λ的最小值为

1

6

．

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，数列的递推公式的应用及数列的裂项求和及数列的单调性在数列的最值求解中的应用，难度中等．