Question

已知函数f（x）=（2+a）x+a²lnx，g（x）=x²+2x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式，并求b的最小值；
（Ⅲ）设b=2a²+2a，若对任意给定的x₀∈（0，1]，总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得g（x_i）+f（x₀）=0成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的定义域和导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数的导数，根据导数的几何意义，即可建立b关于a的函数关系式，并求b的最小值；
（Ⅲ）求函数的导数，根据存在两个不同的x_i（i=1，2），使得g（x_i）+f（x₀）=0成立，建立条件关系即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′(x)=2+a+

a2

x

，x＞0，
∴当2+a≥0，即a≥-2时，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
当2+a＜0，即a＜-2时，f（x）的单调递增区间是(0，-

a2

2+a

)，
单调递减区间是(-

a2

2+a

，+∞)．
（Ⅱ）设两曲线y=f（x）与y=g（x）的公共点为（x₀，y₀），
则

(2+a)x0+a2lnx0=x02+2x0+b 2+a+ a2 x0 =2x0+2.

消去x₀，得b=a²lna．
又b′=2a(lna+

1

2

)，
故b=a²lna在(0，

1

e

)上递减，在(

1

e

，+∞)上递增．
故b的最小值为-

1

2e

．
（III）当x₀∈（0，1]时，f′(x)=2+a+

a2

x

≥2+a+a2＞0，
故f（x）在（0，1]上单调递增，
∴f（x₀）∈（-∞，2+a]，-f（x₀）∈[-2-a，+∞）．
由题意得，函数g（x）的最小值b-1=2a²+2a-1＜-2-a，
∴2a²+3a+1＞0，
∴-1＜a＜-

1

2

．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及导数的几何意义，要求熟练掌握导数的应用．