Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点．
（1）求证：BD⊥AE；
（2）求点A到平面BDE的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）连AC，根据正方体的几何特征，可得CC₁⊥BD，AC⊥BD，由线面垂直的判定定理，可得BD⊥平面ACE₁，再根据线面垂直的性质，即可得到BD⊥AE．
（2）利用等体积法，求点A到平面BDE的距离．

解答： （1）证明：连AC，则
∵正方体AC₁中，CC₁⊥平面ABCD，∴CC₁⊥BD．
∵正方形ABCD，AC⊥BD且AC∩CC₁=C．
∴BD⊥平面ACE，
∴AE?平面ACE，
∴BD⊥AE；
（2）解：设A到平面BDE的距离为h，则
∵棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，
∴BE=DE=

5

，BD=2

2

，
∴S_△BDE=

6

，
∴

1

3

×

6

h=

1

3

×2×1，
∴h=

6

3

．

点评：本题考查的知识点是线面垂直的性质，点到平面的距离，其中（1）的关键是熟练掌握空间线线、线面及面面之间位置关系的转化，（2）的关键是等体积转化．