Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（2）证明：AE⊥平面PCD；
（3）求二面角A-PD-C得到正弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由线面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而∠APB是PB与平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．
（2）由线面垂直得CD⊥PA，由条件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PCD．
（3）过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A-PD-C的平面角，由此能求出二面角A-PD-C得到正弦值．

解答： （1）解：在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥PB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB与平面PAD所成的角，
在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°，
∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°．
（2）证明：在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，
由条件CD⊥PC，PA∩AC=A，
∴CD⊥面PAC，
又AE?面PAC，∴AE⊥CD，
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得AC=PA，
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，
又PC∩CD=C，
综上，AE⊥平面PCD．
（3）解：过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，
∴∠AME是二面角A-PD-C的平面角，
由已知得∠CAD=30°，
设AC=a，得PA=a，AD=

2 3

3

a，PD=

21

3

a，AE=

2

2

a，
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM•PD=PA•AD，
∴AM=

PA•AD

PD

=

a• 2 3 3 a

21 3 a

=

2 7

7

a，
在Rt△AEM中，sin∠AME=

14

4

．
∴二面角A-PD-C得到正弦值为

14

4

．

点评：本题考查直线和平面所成角的大小的求法，考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．