Question

在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，直线l：y=

3

与椭圆C相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设AB是椭圆C上两个动点，点P（-1，

3

2

）满足

PA

+

PB

=λ

PO

（0＜λ＜4且λ≠2），求直线AB的斜率．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由直线l：y=

3

与椭圆C相切，可得b，利用离心率为

1

2

，可得

c

a

=

1

2

，又a²-b²=c²=1，联立解得a²，b²即可；
（2）设直线y=kx+m，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，再利用向量运算和向量相等即可得出．

解答： 解：（1）∵直线l：y=

3

与椭圆C相切，∴b=

3

，
∵离心率为

1

2

，∴

c

a

=

1

2

，
又a²-c²=b²=3，联立解得a²=4，b²=3．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设直线y=kx+m，代入椭圆方程，化为（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵直线AB与椭圆有两个不同的交点，∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，化为3+4k²-m²＞0．（*）
∴x₁+x₂=-

8km

3+4k2

．
∵满足

PA

+

PB

=λ

PO

（0＜λ＜4，且λ≠2），
∴x₁+x₂+2=λ，y₁+y₂-3=-

3

2

λ，
又y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=k（x₁+x₂）+2m，
∴（k+

3

2

）（x₁+x₂）+2m=0，
∴（k+

3

2

）×（-

8km

3+4k2

）+2m=0，
化为m（2k-1）=0，
若m=0，则直线AB经过原点，此时

PA

+

PB

=2

PO

，λ=2，不符合题意，因此m≠0．
∴2k-1=0，解得k=

1

2

．

点评：本题中考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的运算与相等等基础知识与基本技能方法，属于中档题．