Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2CA，∠CAB=

π

2

，则直线AC₁与直线A₁B夹角的余弦值为（　　）

• A、

  5

  5

• B、

  2 5

  5

• C、

  10

  5

• D、

  15

  5

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：以A为原点，AB为x轴，AA₁为y轴，以AC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC₁与直线A₁B夹角的余弦值．

解答： 解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2CA，∠CAB=

π

2

，
∴以A为原点，AB为x轴，AA₁为y轴，以AC为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AB=AA₁=2CA=2，
则A（0，0，0），C₁（0，2，1）
A₁（0，2，0），B（2，0，0），
∴

AC1

=（0，2，1），

A1B

=（2，-2，0），
cos＜

AC1

，

A1B

＞=

-4

5 •2 2

=-

10

5

．
∴直线AC₁与直线A₁B夹角的余弦值为

10

5

．
故选：C．

点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．