Question

19．如图，在平行四边形ABCD中，$DE=\frac{1}{2}EC$，F为BC的中点，G为EF上的一点，且$\overrightarrow{AG}=m\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，则实数m的值为（　　）

• A． $\frac{7}{9}$
• B． $-\frac{2}{9}$
• C． $-\frac{1}{9}$
• D． $\frac{5}{9}$

Answer 1

分析 由题意可知$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，根据向量的共线定理$\overrightarrow{AG}$=λ$\overrightarrow{AE}$+（1-λ）$\overrightarrow{AF}$，列方程即可求得m和λ的值．

解答 解：由$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，
由E，F，G三点共线，
则$\overrightarrow{AG}$=λ$\overrightarrow{AE}$+（1-λ）$\overrightarrow{AF}$，
由$\overrightarrow{AG}=m\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，
∴$\frac{1+λ}{2}$=$\frac{2}{3}$，m=$\frac{3-2λ}{3}$，
解得：λ=$\frac{1}{3}$，m=$\frac{7}{9}$，
∴实数m的值为$\frac{7}{9}$，
故选A．

点评 本题考查向量的加法，向量的共线定理，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．