Question

已知函数f(x)=ax²+bx+c(≤a≤1)的图象过A(0，1)，且在该点处的切线与直线2x+y+1=0平行.?

(1)求b、c的值;?

(2)设f(x)在［1，3］上的最大值与最小值分别为M(a)、N(a),试求F(a)=M(a)-N(a)的表达式;?

(3)在(2)的条件下，当a在区间［，1］上变化时，证明3a²+2＞F(a).?

Answer 1

(1)解析:∵f(x)的图象过A（0，1），?

∴有a·0²+b·0+c=1，即c=1.?

又∵f′(x)=2ax+b，且f(x)的图象在A（0，1）处的斜率等于直线2x+y+1=0的斜率，?

∴有2a·0+b=-2.∴b=-2,?

即有b=-2,c=1.?

(2)解：∵f(x)=ax²-2x+1=a(x-)²+1-,x∈［1，3］,?

又∵≤a≤1,∴1≤≤3.?

∴∈［1，3］，故知N(a)=1-.?

当≤a≤1时，M(a)=f(3)=9a-5;当≤a≤时，M(a)=f(1),?

∴M(a)=a-1.?

∴F(a)=M(a)-N(a)=

(3)证明：当≤a≤1时，?

F(a)=9a+-6,?

∴3a²+2-F(a)=3a²+2-9a-+6?

=.?

∵≤a≤1,?

∴(a-1)(a-2)≥0,2a-1≥0.?

∴3a²+2＞F(a).