Question

若某一等差数列的首项为

C

11-2n 5n

-

A	2n-2 11-3n

，公差为(

5

2x

-

2

5

3	x2

)m展开式中的常数项，其中m是77⁷⁷-15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．

Answer 1

分析：根据题意，由排列、组合数的性质，可得不等式

11-2n≤5n 2n-2≤11-3n

，解可得n的范围，结合n∈N，可得n的值，进而可得首项a₁，对77⁷⁷-15变形，结合二项式定理可得m的值，从而可得数列的公差，即可得数列的通项公式，根据等差数列的性质，设其前k项之和最大，则

104-4k≥0 104-4(k+1)＜0

，解可得k=25或k=26，可得答案．

解答：解：根据题意，等差数列的首项为C_5n^11-2n-A_11-3n^2n-2，
则有

11-2n≤5n 2n-2≤11-3n

，解可得

11

7

≤n≤

13

5

，
又由n∈N，则n=2，
从而有a₁=100，
又由77⁷⁷-15=（76+1）⁷⁷-15=C₇₇⁰76⁷⁷+C₇₇¹76⁷⁶+C₇₇²76⁷⁵+…+C₇₇⁷⁶76+1-15，
可得m=5，则数列的公差d=-4，
从而等差数列的通项公式是a_n=104-4n，
设其前k项之和最大，则

104-4k≥0 104-4(k+1)＜0

，
解得k=25或k=26，
故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，S₂₅=S₂₆=1300．

点评：本题考查二项式定理的应用，排列组合数的性质和等差数列的性质，关键由排列、组合数的性质得出首项，根据二项式定理得到m的值，从而得到公差．