【题目】已知函数f(x)= 是奇函数,且f(2)=
.
(1)求实数m和n的值;
(2)判断函数f(x)在(﹣∞,0)上的单调性,并加以证明.
【答案】
(1)解:∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),
∴ =﹣
=
.
比较得n=﹣n,n=0.
又f(2)= ,∴
=
,解得m=2.
即实数m和n的值分别是2和0
(2)解:函数f(x)在(﹣∞,﹣1]上为增函数,在(﹣1,0)上为减函数.
证明如下:由(1)可知f(x)= =
+
.
设x1<x2<0,
则f(x1)﹣f(x2)= (x1﹣x2)
= (x1﹣x2)
.
当x1<x2≤﹣1时,x1﹣x2<0,x1x2>0,x1x2﹣1>0,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在(﹣∞,﹣1]上为增函数;
当﹣1<x1<x2<0时,
x1﹣x2<0,x1x2>0,x1x2﹣1<0,
∴f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)在(﹣1,0)上为减函数
【解析】(1)利用函数是奇函数的定义,列出方程,比较求解n,利用f(2)= ,求解m即可.(2)利用函数的单调性的定义判断求解即可.
【考点精析】掌握奇偶性与单调性的综合是解答本题的根本,需要知道奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.
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【题目】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),记f[2](x)=f(f(x)),例:f(x)=x2+1,
则f[2](x)=(f(x))2+1=(x2+1)2+1;
(1)f(x)=x2﹣x,解关于x的方程f[2](x)=x;
(2)记△=(b﹣1)2﹣4ac,若f[2](x)=x有四个不相等的实数根,求△的取值范围.
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【题目】若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)﹣g(x)=ex , 则有( )
A.f(2)<f(3)<g(0)
B.g(0)<f(3)<f(2)
C.f(2)<g(0)<f(3)
D.g(0)<f(2)<f(3)
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【题目】已知是函数
图象上的点,
是双曲线在第四象限这一分支上的动点,过点
作直线,使其与双曲线
只有一个公共点,且与
轴、
轴分别交于点
、
,另一条直线
与
轴、
轴分别交于点
、
.
则(1)为坐标原点,三角形
的面积为__________.
(2)四边形面积的最小值为__________.
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【题目】在直角坐标系中,设椭圆
的焦点为
,过右焦点
的直线
与椭圆
相交于
两点,若
的周长为短轴长的
倍.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设的斜率为
,在椭圆
上是否存在一点
,使得
?若存在,求出点
的坐标.
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【题目】已知函数f(x)=2x , x∈(0,2)的值域为A,函数g(x)=log2(x﹣2a)+ (a<1)的定义域为B.
(1)求集合A,B;
(2)若BA,求实数a的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立坐标系,直线
的极坐标方程为
,曲线
的参数方程为
,(
为参数).
(Ⅰ)求直线的直角坐标方程和曲线
的普通方程;
(Ⅱ)曲线交
轴于
两点,且点
,
为直线
上的动点,求
周长的最小值.
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【题目】设函数(
),
,
(Ⅰ) 试求曲线在点
处的切线l与曲线
的公共点个数;(Ⅱ) 若函数
有两个极值点,求实数a的取值范围.
(附:当,x趋近于0时,
趋向于
)
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