【题目】设函数(
),
,
(Ⅰ) 试求曲线在点
处的切线l与曲线
的公共点个数;(Ⅱ) 若函数
有两个极值点,求实数a的取值范围.
(附:当,x趋近于0时,
趋向于
)
【答案】(1)两个公共点;(2).
【解析】试题分析:(1)计算出及
,根据点斜式可得切线方程,将切线方程与
联立可得方程
,设
,对其求导,可得其在
内的单调性,结合
,
,可得零点个数;(2)题意等价于
在
至少有两不同根,当
时,
是
的根,根据图象的交点可知
有一个零点,除去同根;当
显然不合题意;当
时,题意等价于
在
至少有两不同根,对其求导判断单调性,考虑极值与两端的极限值可得结果.
试题解析:(1)∵,
,
切线的斜率为
,
∴切线的方程为
,即
,
联立,得
;
设,则
,
由及
,得
或
,
∴在
和
上单调递增,可知
在
上单调递减,
又,
,所以
,
,
∴方程有两个根:1和
,从而切线
与曲线
有两个公共点.
(2)由题意知在
至少有两不同根,
设,
①当时,
是
的根,
由与
(
)恰有一个公共点,可知
恰有一根
,
由得
,不合题意,
∴当且
时,检验可知
和
是
的两个极值点;
②当时,
在
仅一根,所以
不合题意;--9分
③当时,需
在
至少有两不同根,
由,得
,所以
在
上单调递增,
可知在
上单调递减,
因为,
趋近于0时,
趋向于
,且
时,
,
由题意知,需,即
,解得
,
∴.
综上知, .
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【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=4n,数列{bn}满足b1=-3,
bn+1=bn+(2n-3)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的通项公式;
(3)若cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为
(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点P的极坐标为
。
(Ⅰ)求直线l以及曲线C的极坐标方程;
(Ⅱ)设直线l与曲线C交于A,B两点,求△PAB的面积。
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【题目】选修44:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,已知直线l1:
(
,
),抛物线C:
(t为参数).以原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线l1 和抛物线C的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线l1 和抛物线C相交于点A(异于原点O),过原点作与l1垂直的直线l2,l2和抛物线C相交于点B(异于原点O),求△OAB的面积的最小值.
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【题目】已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)作出函数f(x)的图象,并指出其单调区间.(不需要严格证明)
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系,以
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,
点的极坐标为
,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)写出点的直角坐标及曲线
的直角坐标方程;
(2)若为曲线
上的动点,求
的中点
到直线
:
的距离的最小值.
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