Question

6．设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}y≤2x+2\\ x+y-2≥0\\ x≤2\end{array}\right.$，则$\frac{y-1}{x+3}$的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，-\frac{1}{5}]∪[1，+∞）$
• B． $[\frac{1}{3}，1]$
• C． $[-\frac{1}{5}，\frac{1}{3}]$
• D． $[-\frac{1}{5}，1]$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的斜率公式，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=$\frac{y-1}{x+3}$，则z的几何意义为区域内的点到定点D（-3，1）的斜率，
由图象知，AD的斜率最大，BD的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（2，6），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，即B（2，0），
即AD的斜率k=$\frac{1-6}{-3-2}=1$，
BD的斜率k=$\frac{1-0}{-3-2}=-\frac{1}{5}$，
故z的取值范围是$[-\frac{1}{5}，1]$，
故选：D

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及两点间的斜率公式是解决本题的关键．