Question

18．数列{a_n}满足a₁=1，且对于任意的n∈N^*都有a_n+1=a₁+a_n+n，则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}}}$等于（　　）

• A． $\frac{4028}{2015}$
• B． $\frac{2014}{2015}$
• C． $\frac{4030}{2016}$
• D． $\frac{2015}{2016}$

Answer 1

分析 a₁=1，且对于任意的n∈N^*都有a_n+1=a₁+a_n+n，可得a_n+1-a_n=n+1，利用“累加求和”可得：a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵a₁=1，且对于任意的n∈N^*都有a_n+1=a₁+a_n+n，
∴a_n+1-a_n=n+1，
∴当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+…+2+1
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
当n=1时也成立，
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$的前n项和S_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{n+1}$．
∴$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}}}$=$\frac{2×2015}{2015+1}$=$\frac{4030}{2016}$．
故选：C．

点评 本题考查了数列的“累加求和”、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．