Question

6．设n∈N^*，函数$f（x）=\frac{lnx}{x^n}$，函数$g（x）=\frac{e^x}{x^n}$，x∈（0，+∞）．
（Ⅰ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上是否为单调函数，并说明理由；
（Ⅱ）若当n=1时，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）≤t≤g（x₂）成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）当n＞2时，若存在直线l：y=t（t∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，写出n的所有可能取值．（只需写出结论）

Answer 1

分析 （Ⅰ）先判断函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．再求导，由导数的正负判断函数的单调性；
（Ⅱ）当n=1时，函数$f（x）=\frac{lnx}{x}$，$g（x）=\frac{e^x}{x}$，x＞0，从而化恒成立问题为当x∈（0，+∞）时，f（x）_max≤t≤g（x）_min．从而转化为函数的最值问题，求导确定函数的单调性从而求最值．
（Ⅲ）尝试n的值，使y=f（x）的最大值小于y=g（x）的最小值即可，可知满足条件的n的取值集合为{3，4}．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，
$f'（x）=\frac{1-nlnx}{{{x^{n+1}}}}$，
令 f′（x）=0，解得$x={e^{\frac{1}{n}}}$．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：

x	$（0，{e^{\frac{1}{n}}}）$	${e^{\frac{1}{n}}}$	$（{e^{\frac{1}{n}}}，+∞）$
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗		↘

所以函数f（x）在区间$（0，{e^{\frac{1}{n}}}）$上为单调递增，区间$（{e^{\frac{1}{n}}}，+∞）$上为单调递减．
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．
（Ⅱ）当n=1时，函数$f（x）=\frac{lnx}{x}$，$g（x）=\frac{e^x}{x}$，x＞0．
由题意，若对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）≤t≤g（x₂）恒成立，
只需当x∈（0，+∞）时，f（x）_max≤t≤g（x）_min．
因为 $f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$．
令f′（x）=0，解得x=e．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗		↘

所以$f{（x）_{max}}=f（e）=\frac{1}{e}$．
又因为g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$．
令 g′（x）=0，解得x=1．
当x变化时，g′（x）与g（x）的变化如下表所示：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↘		↗

所以g（x）_min=g（1）=e．
综上所述，实数t的取值范围为：$\frac{1}{e}≤t≤e$．
（Ⅲ）满足条件的n的取值集合为{3，4}．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．