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    【题目】某科研院所共有科研人员800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的240人,无职称的80人,欲了解该科研院所科研人员的创新能力,决定抽取100名科研人员进行调查,应怎样进行抽样?

    【答案】见解析

    【解析】

    创新能力与职称有关,应该用分层抽样.根据样本容量与总体中的个数比等于各屋抽取的个体数与各层的总数之比进行求解即可.

    解:因为一般来说,创新能力与职称有关,所以应该用分层抽样.

    设样本中具有高级职称的人数为x,则,可算得,即要抽取具有高级职称的科研人员20人.

    类似地,可以算得要抽取具有中级职称的科研人员40人,具有初级职称的科研人员30人,无职称的科研人员10人.因此从高级职称的160人,中级职称的320人,初级职称的240人,无职称的80人中各抽取20人、40人、30人、10人即可.

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    【题目】某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月（5-10）月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示.

    （1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并据此预测该公司2020年5月份的利润；

    （2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表）.若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？

    使用寿命

    1个月

    2个月

    3个月

    4个月

    总计

    材料类型

    20

    35

    35

    10

    100

    10

    30

    40

    20

    100

    参考数据：，.

    参考公式：回归直线方程，其中，.

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    【题目】已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．

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    【题目】如图，在直三棱柱中， 、分别为、的中点， ， .

    （1）求证：平面平面；

    （2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值.

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    【题目】如图，在三棱锥中，，底面ABC．M，N分别为PB，PC的中点．

    （1）求证：平面ABC；

    （2）求证：平面平面PAC；

    （3）若，求三棱锥的体积．

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    【题目】某超市为了解端午节期间粽子的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在端午节期间的粽子购买量（单位：g）进行了问卷调查，得到如图所示的频率分布直方图．

    （Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；

    （Ⅱ）求这1000名消费者的棕子购买量在600g～1400g的人数；

    （Ⅲ）求这1000名消费者的人均粽子购买量（频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表）．

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    【题目】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．

    （1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；

    （2）求证：AD⊥PB．

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    【题目】已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击次至少击中次的概率：先由计算器算出到之间取整数值的随机数，指定，表示没有击中目标，，，，，，，，表示击中目标；因为射击次，故以每个随机数为一组，代表射击次的结果.经随机模拟产生了如下组随机数：

    据此估计，该射击运动员射击次至少击中次的概率为（ ）

    A. B. C. D.

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    【题目】某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35-49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况：

    （1）求不到35岁的职工要抽取的人数；

    （2）如果已知35-49岁的职工抽取了56人，求a的值，并求50岁及以上的职工要抽取的人数.

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