【题目】已知椭圆的离心率为
,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
交于
,
两点,且以
为直径的圆过椭圆的右顶点
,求
面积的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为
,
所以, ……………1分
又椭圆的离心率为,即
,所以
, ………………2分
所以,
. ………………4分
所以,椭圆
的方程为
. ………………5分
(Ⅱ)方法一:不妨设的方程
,则
的方程为
.
由得
, ………………6分
设,
,因为
,所以
, …………7分
同理可得, ………………8分
所以,
, ………………10分
, ………………12分
设,则
, ………………13分
当且仅当时取等号,所以
面积的最大值为
. ………………14分
方法二:不妨设直线的方程
.
由消去
得
, ………………6分
设,
,
则有,
. ① ………………7分
因为以为直径的圆过点
,所以
.
由,
得. ………………8分
将代入上式,
得.
将 ① 代入上式,解得或
(舍). ………………10分
所以(此时直线
经过定点
,与椭圆有两个交点),
所以
. ……………12分
设,
则.
所以当时,
取得最大值
. ……………14分
【解析】
(1)由题意可知2a+2c和e的值,所以可以求出a,b,c进而确定椭圆方程.
(2)以AB为直径的圆过右顶点C,实质是,然后用坐标表示出来,再通过直线l的方程与椭圆方程联立,借助韦达定理和判断式把△ABC面积表示成关于k的函数,然后利用函数的方法求最值.
(Ⅰ)因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为
,∴
, 又椭圆的离心率为
,即
,所以
,
∴,
. ………… 3分∴
,椭圆
的方程为
.……4分
(Ⅱ)由直线的方程
.联立
消去
得
,………… 5分
设,
,则有
,
. ① ……… 6分
因为以为直径的圆过点
,所以
.由
,得
.…………… 7分
将代入上式,得
.
将 ① 代入上式,解得或
(舍). ……… 8分
所以,记直线
与
轴交点为
,则
点坐标为
,
所以
设,则
.
所以当时,
取得最大值为
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【题目】【选修4-4:坐标系与参数方程】
在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C: ,过点
的直线l的参数方程为:
(t为参数),直线l与曲线C分别交于M、N两点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若|PM |,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值
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【题目】《汉字听写大会》不断创收视新高,为了避免“书写危机”弘扬传统文化,某市大约10万名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况,发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在到
之间,将测试结果按如下方式分成六组:第一组
,第二组
,…,第六组
,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访,求被采访人恰好在第1组或第4组的概率;
(2)已知第5,6两组市民中有3名女性,组织方要从第5,6两组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队,求至少有1名女性市民的概率.
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【题目】某班有40位同学,座位号记为,用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的5位同学的座位号.
4954 4454 8217 3793 2378 8735 2096 4384 2634 9164
5724 5506 8877 0474 4767 2176 3350 2583 9212 0767 5086
选取方法是从随机数表第一行的第11列和第12列数字开始,由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个志愿者的座位号是( )
A.09B.20C.37D.38
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【题目】已知直线l的方程为(
).
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)若直线l与x正半轴、射线(
)分别交于P,Q两点,当a为何值时,
的面积最小?
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【题目】某校初一年级全年级共有名学生,为了拓展学生的知识面,在放寒假时要求学生在假期期间进行广泛的阅读,开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查,得到了如图所示的频率分布直方图(部分已被损毁),统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为
万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级
人中抽出
人来作进一步调查.
(1)在阅读量为万到
万字的同学中有
人的成绩优秀,在阅量为
万到
万字的同学中有
人成绩不优秀,请完成下面的
列联表,并判断在“犯错误概率不超过
”的前提下,能否认为“学生成绩优秀与阅读量有相关关系”;
阅读量为 | 阅读量为 | 合计 | |
成绩优秀的人数 | |||
成绩不优秀的人数 | |||
合计 |
(2)在抽出的同学中,1)求抽到被污染部分的同学人数;2)从阅读量在万到
万字及
万到
万字的同学中选出
人写出阅读的心得体会.求这
人中恰有
人来自阅读量是
万到
万的概率.
参考公式: ,其中
.
参考数据:
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【题目】某科研院所共有科研人员800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的240人,无职称的80人,欲了解该科研院所科研人员的创新能力,决定抽取100名科研人员进行调查,应怎样进行抽样?
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 甲、乙二人比赛,甲胜的概率为,则比赛5场,甲胜3场
B. 某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈
C. 随机试验的频率与概率相等
D. 天气预报中,预报明天降水概率为90%,是指降水的可能性是90%
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