Question

12．设函数f（x）=|x-1|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$的解集；
（2）若{x|f（x）≥t²-t}∩{x}1≤x≤2}≠∅，求实数t的范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$的解集．
（2）由题意可得当1≤x≤2时，不等式f（x）≥t²-t能成立，求得f（x）的最大值，再根据最大值大于或等于t²-t，求得t的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-1|-|x-2|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到2对应点的距离，
而$\frac{7}{4}$对应点到1对应点的距离减去它到2对应点的距离正好等于$\frac{1}{2}$，故不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$的解集为{x|x＞$\frac{7}{4}$}．
（2）若{x|f（x）≥t²-t}∩{x}1≤x≤2}≠∅，
则当1≤x≤2时，不等式f（x）≥t²-t能成立，此时，-1≤f（x）≤1，∴1≥t²-t，
求得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$≤t≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，属于中档题．