Question

3．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线C相交于A、B两点，若$\overrightarrow{FP}$=3$\overrightarrow{FA}$，则|AB|=（　　）

• A． 5
• B． $\frac{16}{3}$
• C． $\frac{22}{3}$
• D． 8

Answer 1

分析 先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y²=4x的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段AB的长．

解答 解：抛物线C：y²=4x的焦点为F（1，0），准线为l：x=-1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B到准线的距离分别为d_A，d_B，
由抛物线的定义可知|AF|=d_A=x₁+1，|BF|=d_B=x₂+1，于是|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2．
∵$\overrightarrow{FP}$=3$\overrightarrow{FA}$，
∴直线AB的斜率为±$\sqrt{3}$，
∵F（1，0），
∴直线PF的方程为y=±$\sqrt{3}$（x-1），
将y=±$\sqrt{3}$（x-1），代入方程y²=4x，得3（x-1）²=4x，化简得3x²-10x+3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，于是|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2=$\frac{10}{3}$+2=$\frac{16}{3}$
故选：B．

点评 本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．