Question

13．如图，在三棱锥A-BCD中，BC⊥BD，AD⊥AC，CD=2，∠ACD=30°，∠DCB=45°，AO⊥平面BCD，垂足O恰好在BD上．
（Ⅰ）证明：BC⊥AD；
（Ⅱ）求三棱锥A-BCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AO⊥平面BCD，得AO⊥BC，又已知BC⊥BD，且AO∩BD=O，由线面垂直的判定得BC⊥平面ABD，即可证得BC⊥AD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AD⊥BC，又AD⊥AC，BC∩AC=C，得AD⊥平面ABC，又AB?平面ABC，得AD⊥AB，由已知CD，求得BD，AD，进一步可求出AB，得到△ABD为等腰直角三角形，故O为BD的中点，求出OD，即可求出三棱锥A-BCD的体积．

解答 （Ⅰ）证明：由AO⊥平面BCD，BC?平面BCD，得AO⊥BC，
又∵BC⊥BD，且AO∩BD=O，
∴BC⊥平面ABD，
又AD?平面ABD，
∴BC⊥AD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，AD⊥BC，又AD⊥AC，BC∩AC=C，
∴AD⊥平面ABC，
又∵AB?平面ABC，
∴AD⊥AB，
由已知CD=2，得BD=DCsin45°=$\sqrt{2}$，
AD=DCsin30°=1，
∴AB=1，
∴△ABD为等腰直角三角形，故O为BD的中点．
∴OD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${V}_{A-BCD}=\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$$•\sqrt{2}•\sqrt{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了棱锥体积的求法，是中档题．