【题目】如图,在直棱柱中,
,
,
,
分别是棱
,
上的点,且
平面
.
(1)证明:;
(2)若为
中点,求直线
与直线
所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
解法1:(1)以为坐标原点,
的方向为
轴正方向,建立空间直角坐标系
.
设,
,求出相应点的坐标,利用空间向量共线的定义求解即可;
(2)利用空间向量夹角公式进行求解即可.
解法2:(1)利用线面平行的性质定理,结合平行线公理进行证明即可;
(2)延长到
,使
,连接
,
.利用平行四边形有判定定理、平行四边形的性质可以证明出
.所以
直线
与直线
所成角.利用余弦定理进行求解即可.
解法1:(1)如图,以为坐标原点,
的方向为
轴正方向,建立空间直角坐标系
.
设,
,则
,
,
,
,
,
.
所以,
,所以
,
与
共线.
因为平面
,所以
.
(2)因为为
中点,所以
为
中点,故
,于是
,
.
所以,
因此直线与直线
所成角的余弦值为
.
解法2:(1)因为平面
,
平面
,平面
平面
,所以
.
在直棱柱中,
,所以
.
(2)延长到
,使
,连接
,
.则
,
,
四边形是平行四边形,所以
.故
直线
与直线
所成角.
设,则
,
.因为
为
中点,所以
为
中点,故
.
因为,所以
,因此
.
在中,
.所以直线
与直线
所成角的余弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2019年是扶贫的关键年,作为产业扶贫的电商扶贫将会迎来更多的政策或扶持.京东、阿里、拼多多、抖音、苏宁等互联网公司都纷纷加入电商扶贫.城乡各地区都展开农村电商培训,如对电商团队、物流企业、返乡创业群体、普通农户等进行培训.某部门组织A、B两个调查小组在开展电商培训之前先进行问卷调查,从获取的有效问卷中,针对25至55岁的人群,接比例随机抽取400份,进行数据统计,具体情况如下表:
A组统计结果 | B组统计结果 | |||
参加电商培训 | 不参加电商培训 | 参加电商培训 | 不参加电商培训 | |
50 | 25 | 45 | 20 | |
35 | 43 | 30 | 32 | |
20 | 60 | 20 | 20 |
(1)先用分层抽样的方法从400人中按“年龄是否达到45岁”抽出一个容量为80的样本,将“年龄达到45岁”的被抽个体分配到“参加电商培训”和“不参加电商培训”中去。
①这80人中“年龄达到45岁且参加电商培训”的人数;
②调查组从所抽取的“年龄达到45岁且参加电商培训”的人员中抽取3人,安排进入抖音公司参观学习,求这3人恰好是A组的人数X的分布列和数学期望;
(2)从统计数据可直观得出“参加电商培训与年龄(记作m岁)有关”的结论.请列出列联表,用独立性检验的方法,通过比较
的观测值的大小,判断年龄取35岁还是45岁时犯错误的概率哪一个更小?
(参考公式:,其中
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数 (万人)与餐厅所用原材料数量
(袋),得到如下统计表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
参会人数 | 13 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料 | 32 | 23 | 18 | 24 | 28 |
(1)根据所给5组数据,求出关于
的线性回归方程
.
(2)已知购买原材料的费用 (元)与数量
(袋)的关系为
,
投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元,多余的原材料只能无偿返还,据悉本次交易大会大约有15万人参加,根据(1)中求出的线性回归方程,预测餐厅应购买多少袋原材料,才能获得最大利润,最大利润是多少?(注:利润销售收入
原材料费用).
参考公式: ,
.
参考数据: ,
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从某商场随机抽取了2000件商品,按商品价格(元)进行统计,所得频率分布直方图如图所示.记价格在,
,
对应的小矩形的面积分别为
,且
.
(1)按分层抽样从价格在,
的商品中共抽取6件,再从这6件中随机抽取2件作价格对比,求抽到的两件商品价格差超过800元的概率;
(2)在清明节期间,该商场制定了两种不同的促销方案:
方案一:全场商品打八折;
方案二:全场商品优惠如下表,如果你是消费者,你会选择哪种方案?为什么?(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)
商品价格 | ||||||
优惠(元) | 30 | 50 | 140 | 160 | 280 | 320 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂预购软件服务,有如下两种方案:
方案一:软件服务公司每日收取工厂60元,对于提供的软件服务每次10元;
方案二:软件服务公司每日收取工厂200元,若每日软件服务不超过15次,不另外收费,若超过15次,超过部分的软件服务每次收费标准为20元.
(1)设日收费为元,每天软件服务的次数为
,试写出两种方案中
与
的函数关系式;
(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计,得到如图所示的条形图,依据该统计数据,把频率视为概率,从节约成本的角度考虑,从两个方案中选择一个,哪个方案更合适?请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,一块黄铜板上插着三根宝石针,在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片.若按照下面的法则移动这些金片:每次只能移动一片金片;每次移动的金片必须套在某根针上;大片不能叠在小片上面.设移完n片金片总共需要的次数为an,可推得a1=1,an+1=2an+1.如图是求移动次数在1000次以上的最小片数的程序框图模型,则输出的结果是( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,边长为a的空间四边形ABCD中,∠BCD=90°,平面ABD⊥平面BCD,则异面直线AD与BC所成角的大小为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
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