Question

14．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），直线l过点 A（a，0），B（0，b），该双曲线的左焦点F₁到直线l的距离等于该双曲线的短轴长的$\frac{2}{3}$．
（1）求该双曲线的离心率；
（2）若点F₁到左准线的距离与它到渐近线的距离和是$\frac{16}{3}$+4$\sqrt{2}$，求该双曲线．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线的左焦点F₁到直线l的距离等于该双曲线的短轴长的$\frac{2}{3}$，建立方程，即可求该双曲线的离心率；
（2）利用点F₁到左准线的距离与它到渐近线的距离和是$\frac{16}{3}$+4$\sqrt{2}$，结合离心率，建立方程，即可求该双曲线的方程．

解答 解：（1）直线l的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，即bx+ay-ab=0，
∵双曲线的左焦点F₁到直线l的距离等于该双曲线的短轴长的$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{|-bc-ab|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{2}{3}•2b$，
∴e=$\frac{c}{a}$=3；
（2）∵点F₁到左准线的距离与它到渐近线的距离和是$\frac{16}{3}$+4$\sqrt{2}$，
∴c-$\frac{{a}^{2}}{c}$+b=$\frac{16}{3}$+4$\sqrt{2}$，
∵c=3a，b=2$\sqrt{2}$a，
∴3a-$\frac{1}{3}$a+2$\sqrt{2}$a=$\frac{16}{3}$+4$\sqrt{2}$，
∴a=2，
∴b=4$\sqrt{2}$，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{32}=1$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确建立方程是关键．