Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=

1

2

AA₁，∠BAC=90°，D为棱BB₁的中点
（Ⅰ）求异面直线C₁D与A₁C所成的角；
（Ⅱ）求证：平面A₁DC⊥平面ADC．

Answer 1

分析：解法一：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．设AB=a，则A₁（0，0，2a），C（0，a，0），C₁（0，a，2a），D（a，0，a）
（Ⅰ）

C1D

=（a，-a，-a），

A1C

=（0，a，-2a）
（Ⅱ）又∵

A1D

=（a，0，-a），

AC

=（0，a，0），∴

A1D

⊥

AD

，

A1D

⊥

AC

，∴A₁D⊥平面ACD
解法二：
（Ⅰ）求异面直线所成的角，可用几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．连接AC₁交A₁C于点E，取AD中点F，连接EF，则EF∥C₁D，∴直线EF与A₁C所成的角就是异面直线C₁D与A₁C所成的角．
（Ⅱ）欲证平面A₁DC⊥平面ADC，先证直线与平面垂直，由题意可得：AC⊥A₁D，AD⊥A₁D，∴A₁D⊥平面ACD，又A₁D?平面A₁CD，∴平面A₁DC⊥平面ADC

解答：解：解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系设AB=a，
则A₁（0，0，2a），C（0，a，0），C₁（0，a，2a），D（a，0，a）（2分）
于是

C1D

=（a，-a，-a），

A1C

=（0，a，-2a）
∵cos＜

C1D

，

A1C

＞=

C1D • A1C

| C1D ||  A1C |

=

0-a2+2a2

3 a• 5 a

=

15

15

，（6分）
∴异面直线C₁D与A₁C所成的角为arccos

15

15

（7分）
（Ⅱ）∵

A1D

=（a，0，-a），

AC

=（0，a，0），
∴

A1D

•

AD

=a²+0-a²=0，

A1D

•

AC

=0（10分）
则

A1D

⊥

AD

，

A1D

⊥

AC

∴A₁D⊥平面ACD（12分）
又A₁D?平面A₁CD，
∴平面A₁DC⊥平面ADC（14分）
解法二：
（Ⅰ）连接AC₁交A₁C于点E，取AD中点F，连接EF，则EF∥C₁D
∴直线EF与A₁C所成的角就是异面直线C₁D与A₁C所成的角（2分）
设AB=a，
则C₁D=

C1B12+B1D2

=

3

a，
A₁C=

AC2+ AA12

=

5

a，AD=

AB2+BD2

=

2

a．
△CEF中，CE=

1

2

A₁C=

5

2

a，EF=

1

2

C₁D=

3

2

a，
直三棱柱中，∠BAC=90°，则AD⊥AC（4分）
CF=

AC2+AF2

=

a2+( 2 a 2 )2

=

6

2

a（4分）
∵cos∠CEF=

CE2+EF2-CF2

2CE•EF

=

5 4 a2+ 3 4 a2- 3 2 a2

2• 5 2 a• 3 2 a

=

15

15

，（6分）
∴异面直线C₁D与A₁C所成的角为arccos

15

15

（7分）
（Ⅱ）直三棱柱中，∠BAC=90°，∴AC⊥平面ABB₁A₁，则AC⊥A₁D（9分）
又AD=

2

a，A₁D=

2

a，AA₁=2a，
则AD²+A₁D²=AA₁²，于是AD⊥A₁D（12分）
∴A₁D⊥平面ACD又A₁D?平面A₁CD，
∴平面A₁DC⊥平面ADC（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．