Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{5}{6}$n（n+13）．
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）设b_n=a_3n+a_3n+1，求证：{b_n}也是等差数列；
（3）求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用当n=1时，a₁=S₁，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，再由等差数列的定义，即可得证；
（2）求得b_n=a_3n+a_3n+1=10n+$\frac{65}{3}$，运用等差数列的定义，即可得证；
（3）运用等差数列的求和公式，化简即可得到所求和．

解答 解：（1）证明：当n=1时，a₁=S₁=$\frac{35}{3}$，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{5}{6}$n（n+13）-$\frac{5}{6}$（n-1）（n+12）
=$\frac{5n+30}{3}$，对n=1也成立．
a_n+1-a_n=$\frac{5}{3}$，
则{a_n}是首项为$\frac{35}{3}$，公差为$\frac{5}{3}$的等差数列；
（2）证明：b_n=a_3n+a_3n+1=5n+10+（5n+10+$\frac{5}{3}$）
=10n+$\frac{65}{3}$，
b_n+1-b_n=10，
即有{b_n}是公差为10，首项为$\frac{95}{3}$的等差数列；
（3）{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}$n（$\frac{95}{3}$+10n+$\frac{65}{3}$）
=5n²+$\frac{80}{3}$n．

点评 本题考查等差数列的判断和通项公式及求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．