Question

已知椭圆C：

x2

4

+y²=1的左右焦点分别为F₁，F₂，过F的值线l交椭圆C于A、B两点，过F₂且平行于l的直线l₁交椭圆C与M、N两点．
（1）求△ABF₂的周长；
（2）求△ABM面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的定义可得△ABF₂的周长；
（2）设直线l的倾斜角为θ，当θ≠

π

2

时，求出点M到直线l的距离即为两条平行线间的距离，|AB|，计算三角形的面积，利用基本不等式求最值；当θ=

π

2

时，|AB|=1，d=2

3

，此时S△ABM=

3

＜2，由此可得△ABM面积的最大值．

解答：解：（1）由椭圆的定义可得△ABF₂的周长=|AB|+AF₂|+|BF₂|=4a=8；
（2）设直线l的倾斜角为θ，当θ≠

π

2

时，l：y=tanθ（x+

3

），l₁：y=tanθ（x-

3

）
点M到直线l的距离即为两条平行线间的距离：d=2

3

sinθ
∵|AB|=

2× b2 a2

1-e2cos2θ

=

1

1- 3 4 cos2θ

∴S_△ABM=

1

2

×

1

1- 3 4 cos2θ

×2

3

sinθ=

4 3

1 sinθ +sinθ

≤

4 3

2 3

=2
当且仅当sinθ=

3

3

时，取等号
当θ=

π

2

时，|AB|=1，d=2

3

，此时S△ABM=

3

＜2
∴△ABM面积的最大值为2．

点评：本题考查椭圆的定义，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．