Question

已知函数（其中且），是的反函数.
（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；
（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；
（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），
求证：.

Answer 1

(1)；(2)奇函数，减函数；(3)证明见解析．

试题分析：(1)这是一个对数方程，首先要转化为代数方程，根据对数的性质有，从而有，方程在上有解，就变为求函数在上的值域，转化时注意对数的真数为正；(2)奇偶性和单调性我们都根据定义加以解决；(3)，
，要证明不等式成立，最好是能把和求出来，但看其通项公式，这个和是不可能求出的，由于我们只要证明不等式，那么我们能不能把放缩后可求和呢？，显然，即，左边易证，又由二项式定理
，在时，，所以，注意到，至此不等式的右边可以求和了，
，得证．
试题解析：（1）转化为求函数在上的值域，
该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。所以的取值范围为。         4分
（2）的定义域为，         5分
定义域关于原点对称，又， ，所以函数为奇函数。         6分
下面讨论在上函数的增减性.
任取、，设，令，则，，所以
因为，，，所以.        7分
又当时，是减函数，所以.由定义知在上函数是减函数.         8分
又因为函数是奇函数，所以在上函数也是减函数.        9分
（3） ；        10分
因为，，所以，。  11分
设，时，则 ，   12分
且，   13分
由二项式定理，        14分
所以，
从而。        18分