Question

13．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=CB=CC₁=2，M是AB的中点．
（1）求证：平面A₁CM⊥平面ABB₁A₁；
（2）求点M到平面A₁CB₁的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出A₁A⊥CM，AB⊥CM．由此能证明平面A₁CM⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）设点M到平面A₁CB₁的距离为h，由${V_{C-{A_1}M{B_1}}}=\frac{1}{3}MC•{S_{△{A_1}M{B_1}}}={V_{M-{A_1}C{B_1}}}=\frac{1}{3}h•{S_{△{A_1}C{B_1}}}$，能求出点M到平面A₁CB₁的距离．

解答 证明：（Ⅰ）由A₁A⊥平面ABC，CM?平面ABC，则A₁A⊥CM．
由AC=CB，M是AB的中点，则AB⊥CM．
又A₁A∩AB=A，则CM⊥平面ABB₁A₁，
又CM?平面A₁CM，
所以平面A₁CM⊥平面ABB₁A₁．
解：（Ⅱ）设点M到平面A₁CB₁的距离为h，
由题意可知${A_1}C=C{B_1}={A_1}{B_1}=2MC=2\sqrt{2}$，${S_{△{A_1}C{B_1}}}=2\sqrt{3}$，${S_{△{A_1}M{B_1}}}=2\sqrt{2}$．
由（Ⅰ）可知CM⊥平面ABB₁A₁，得：
${V_{C-{A_1}M{B_1}}}=\frac{1}{3}MC•{S_{△{A_1}M{B_1}}}={V_{M-{A_1}C{B_1}}}=\frac{1}{3}h•{S_{△{A_1}C{B_1}}}$，
所以，点M到平面A₁CB₁的距离$h=\frac{{MC•{S_{△{A_1}M{B_1}}}}}{{{S_{△{A_1}C{B_1}}}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．