Question

8．已知焦距为2的椭圆W：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为A₁，A₂，上、下顶点分别为B₁，B₂，点M（x₀，y₀）为椭圆W上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线MA₁，MA₂，MB₁，MB₂的斜率之积为$\frac{1}{4}$．
（1）求椭圆W的标准方程；
（2）如图所示，点A，D是椭圆W上两点，点A与点B关于原点对称，AD⊥AB，点C在x轴上，且AC与x轴垂直，求证：B，C，D三点共线．

Answer 1

分析 （1）由c=1，a²-b²=1，求得四条直线的斜率，由斜率乘积为$\frac{1}{4}$，代入求得a和b的关系，即可求得a和b的值，求得椭圆W的标准方程；
（2）设A，D的坐标，代入椭圆方程，作差法，求得直线AD的斜率，由k_AD•k_AB=-1，代入求得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，由k_BD-k_BC=0，即可求证k_BD=k_BC，即可求证B，C，D三点共线．

解答 解：（1）由题意可知：2c=2，c=1，a²-b²=1，
∵M（x₀，y₀）为椭圆W上不在坐标轴上的任意一点，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，${y}_{0}^{2}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$（a²-${x}_{0}^{2}$），${x}_{0}^{2}$=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$（b²-${y}_{0}^{2}$），
${k}_{M{A}_{1}}$•${k}_{M{A}_{2}}$•${k}_{{MB}_{1}}$•${k}_{M{B}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$•$\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}$•$\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$•$\frac{{y}_{0}^{2}-{b}^{2}}{{x}_{0}^{2}}$，
=$\frac{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$•$\frac{{y}_{0}^{2}-{b}^{2}}{\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}（{b}^{2}-{y}_{0}^{2}）}$=（$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$）²=$\frac{1}{4}$，则a²=2b²，
∴a²=2，b²=1，
∴椭圆W的标准方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：不妨设点A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），B的坐标（-x₁，-y₁），C（x₁，0），
∵A，D在椭圆上，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}^{2}+2{y}_{1}^{2}=1}\\{{x}_{2}^{2}+2{y}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，=0，即（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
由AD⊥AB，
∴k_AD•k_AB=-1，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-1，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•（-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，）=-1，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
∴k_BD-k_BC=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-$\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=0，
k_BD=k_BC，
∴B，C，D三点共线．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，直线的斜率公式，考查计算能力，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．