Question

3．已成椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A₁、A₂，上下顶点分别为B₂/B₁，左右焦点分别为F₁、F₂，其中长轴长为4，且圆O：x²+y²=$\frac{12}{7}$为菱形A₁B₁A₂B₂的内切圆．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点N（n，0）为x轴正半轴上一点，过点N作椭圆C的切线l，记右焦点F₂在l上的射影为H，若△F₁HN的面积不小于$\frac{3}{16}$n²，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意求得a，直线A₂B₂的方程为$\frac{x}{2}+\frac{y}{b}=1$，利用点到直线的距离公式，即可求得b的值，求得椭圆C的方程；
（2）设直线方程，代入椭圆方程，由△=0，求得m和n的关系，利用三角形的面积公式，求得m的取值范围，代入即可求得n的取值范围．

解答 解：（1）由题意知2a=4，所以a=2，
所以A₁（-2，0），A₂（2，0），B₁（0，-b），B₂（0，b），则
直线A₂B₂的方程为$\frac{x}{2}+\frac{y}{b}=1$，即bx+2y-2b=0，
所以$\frac{丨-2b丨}{\sqrt{4+{b}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{12}{7}}$，解得b²=3，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由题意，可设直线l的方程为x=my+n，m≠0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，消去x得（3m²+4）y²+6mny+3（n²-4）=0，（*）
由直线l与椭圆C相切，得△=（6mn）²-4×3×（3m²+4）（n²-4）=0，
化简得3m²-n²+4=0，
设点H（mt+n，t），由（1）知F₁（-1，0），F₂（1，0），则$\frac{t-0}{（mt+n）-1}$•$\frac{1}{m}$=-1，
解得：t=-$\frac{m（n-1）}{1+{m}^{2}}$，
所以△F₁HN的面积${S}_{△{F}_{1}HN}$=$\frac{1}{2}$（n+1）丨-$\frac{m（n-1）}{1+{m}^{2}}$丨=$\frac{1}{2}$$\frac{丨m（{n}^{2}-1）丨}{1+{m}^{2}}$，
代入3m²-n²+4=0，消去n化简得${S}_{△{F}_{1}HN}$=$\frac{3}{2}$丨m丨，
所以$\frac{3}{2}$丨m丨≥$\frac{3}{16}$n²=$\frac{3}{16}$（3m²+4），解得$\frac{2}{3}$≤丨m丨≤2，即$\frac{4}{9}$≤m²≤4，
从而$\frac{4}{9}$≤$\frac{{n}^{2}-4}{3}$≤4，又n＞0，
所以$\frac{4\sqrt{3}}{3}$≤n≤4，
故n的取值范围为[$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，4]．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查韦达定理，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．