Question

13．如图，四棱锥P-ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD 都是边长为2的等边三角形，E 是BC的中点．
（Ⅰ）证明：平面AE∥平面 PCD；
（Ⅱ）求PAB与平面 PCD 所成二面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AD∥CE，且AD=CE，推出AE∥CD，然后证明AE∥平面 PCD；
（Ⅱ）连接DE，BD，证明AE⊥BD，PO⊥BD，PO⊥AO，PO⊥平面ABCD，建立坐标系，求出相关点坐标，求出平面PAB的法向量，平面PCD的法向量，利用空间向量的数量积求解平面PAB与平面 PCD 所成二面角的大小．

解答 解：（Ⅰ）证明：，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，E 是BC的中点．
所以AD∥CE，且AD=CE
所以四边形ADCE是平行四边形，
所以AE∥CD，
AE?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AE∥平面 PCD；
（Ⅱ）连接DE，BD，设AE∩BD=O，连接PO，则四边形ABED是正方形，所以AE⊥BD，
因为，△PAB与△PAD 都是边长为2的等边三角形，PD=PB=2，O是BD的中点 所以PO⊥BD，
则PO=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}=\sqrt{2}$，又OA=$\sqrt{2}$，PA=2，所以PO⊥AO，
因为BD∩AE=O，所以PO⊥平面ABCD，
建立如图所示的坐标系，
则P（0，0，$\sqrt{2}$），A（$-\sqrt{2}$，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），E（$\sqrt{2}，0，0$），D（0，-$\sqrt{2}，0$），
所以$\overrightarrow{PA}$=（$-\sqrt{2}，0，\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PB}=（0，\sqrt{2}，-\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{PD}=（0，-\sqrt{2}，-\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{AE}$=（$2\sqrt{2}，0，0$），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PAB的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}x-\sqrt{2}z=0}\\{\sqrt{2}y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，则$\overrightarrow{n}$=（0，-1，-1）．
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面PCD的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}y-\sqrt{2}z=0}\\{2\sqrt{2}x=0}\end{array}\right.$，
令y=1，则$\overrightarrow{m}$=（0，1，-1）．
所以cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$=0．
所以平面PAB与平面 PCD 所成二面角的大小为90°．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．