Question

2．设函数f（x）=|2x+3|-|2x-a|，a∈R．
（1）若不等式f（x）≤-5的解集非空，求实数a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）的图象关于点（-$\frac{1}{2}$，0）对称，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）若不等式f（x）≤-5的解集非空，-|3+a|≤-5，即可求实数a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）的图象关于点（-$\frac{1}{2}$，0）对称，f（x-$\frac{1}{2}$）+f（-x-$\frac{1}{2}）$=0，即可求实数a的值．

解答 解：（1）||2x+3|-|2x-a||≤|2x+3-2x+a|=|3+a|，
∵不等式f（x）≤-5的解集非空，
∴-|3+a|≤-5，∴a≤-8或a≥2；
（2）∵函数y=f（x）的图象关于点（-$\frac{1}{2}$，0）对称，
∴f（x-$\frac{1}{2}$）+f（-x-$\frac{1}{2}）$=0，
∴|2x+2|-|2x-1-a|+|-2x+2|-|-2x-1-a|=0，
由于对任意x为实数均成立，
∴a=1．

点评 本题考查绝对值不等式，考查恒成立问题，考查函数对称性的运用，属于中档题．