Question

10．若函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{3（1-{2^x}）}}{{{2^x}+1}}，（-1≤x≤1）}\\{-\frac{1}{4}（{x^3}+3x），（x＜-1或x＞1）}\end{array}}\right.$对任意的m∈[-3，2]，总有f（mx-1）+f（x）＞0恒成立，则x的取值范围是（　　）

• A． $（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{3}}）$
• B． （-1，2）
• C． $（{-\frac{4}{3}，-\frac{1}{2}}）$
• D． （-2，3）

Answer 1

分析 分别讨论当-1≤x≤1时，当x＞1或x＜-1，f（x）的奇偶性和单调性，可得f（x）为R上的奇函数，且为减函数．由题意可得（m+1）x-1＜0，设g（m）=（m+1）x-1，m∈[-3，2]，由g（-3）＜0，g（2）＜0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：当-1≤x≤1时，f（x）=$\frac{3（1-{2}^{x}）}{1+{2}^{x}}$=-$\frac{3（{2}^{x}+1-2）}{{2}^{x}+1}$
=-3+$\frac{6}{{2}^{x}+1}$，由y=2^x在[-1，1]递增，可得f（x）在[-1，1]递减；
且f（-x）=$\frac{3（1-{2}^{-x}）}{1+{2}^{-x}}$=$\frac{3（{2}^{x}-1）}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
即f（x）为奇函数；
当x＞1或x＜-1，f（x）=-$\frac{1}{4}$（x³+3x），f（-x）=$\frac{1}{4}$（x³+3x）=-f（x），
f（x）为奇函数；且f′（x）=-$\frac{1}{4}$（3x²+3）＜0，即有f（x）为递减函数．
f（-1）=1，f（1）=-1，则f（x）为R上的奇函数，且为减函数．
则任意的m∈[-3，2]，总有f（mx-1）+f（x）＞0恒成立，
即有f（mx-1）＞-f（x）=f（-x），
可得mx-1＜-x，即为（m+1）x-1＜0，
设g（m）=（m+1）x-1，m∈[-3，2]，
则g（-3）＜0，g（2）＜0，即-2x-1＜0，3x-1＜0，
解得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查分段函数的应用，考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查构造函数法，以及定义法的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．