Question

18．若对于任意的实数$x∈（{0，\frac{1}{2}}]$，都有2^-2x-log_ax＜0恒成立，则实数a的取值范围是$\frac{1}{4}$＜a＜1．

Answer 1

分析 由题意可得，$x∈（{0，\frac{1}{2}}]$时，函数y=2^-2x的图象在函数y=log_ax的图象的下方，可得0＜a＜1．再根据它们的单调性可得$\frac{1}{2}$＜log_a$\frac{1}{2}$，解此对数不等式求得a的范围

解答 解：若对于任意的实数$x∈（{0，\frac{1}{2}}]$，都有2^-2x-log_ax＜0恒成立，
即对于任意的实数$x∈（{0，\frac{1}{2}}]$，都有log_ax＞2^-2x恒成立，
则y=log_ax的图象恒在y=${（\frac{1}{4}）}^{x}$图象的上方，
∴0＜a＜1．
再根据它们的单调性可得$\frac{1}{2}$＜log_a$\frac{1}{2}$，
即$\sqrt{a}$＞$\frac{1}{2}$，
∴a＞$\frac{1}{4}$，
综上可得，$\frac{1}{4}$＜a＜1，
故答案为：$\frac{1}{4}$＜a＜1

点评 本题主要考查对数不等式的解法，同时考查对数函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．