Question

6．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右顶点为A（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线l交椭圆于B，D两点，设直线AB斜率为k₁，直线AD斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件列出方程组，求解可得椭圆C的方程．
（Ⅱ）方法一：由题意知直线l斜率不为0，设直线l方程为x=my+1，B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ x=my+1\end{array}\right.$消去x，得（m²+4）y²+2my-3=0，通过韦达定理，通过斜率乘积，化简推出结果．
方法二：（ⅰ）当直线l斜率不存在时，$B（1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）\;，\;D（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，求解即可．
（ⅱ）当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=k（x-1），B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$消去y，得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，通过韦达定理，通过斜率乘积，化简推出结果．

解答 解：（Ⅰ）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\ a=2\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\\ c=\sqrt{3}\end{array}\right.$所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）方法一：由题意知直线l斜率不为0，设直线l方程为x=my+1，B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ x=my+1\end{array}\right.$消去x，得（m²+4）y²+2my-3=0，
易知△=16m²+48＞0，得${y_1}+{y_2}=\frac{-2m}{{{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{-3}{{{m^2}+4}}$…（8分）${k_1}{k_2}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{（{x_1}-2）（{x_2}-2）}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{（m{y_1}-1）（m{y_2}-1）}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{m^2}{y_1}{y_2}-m（{y_1}+{y_2}）+1}}$=$\frac{-3}{{-3{m^2}+2{m^2}+{m^2}+4}}=-\frac{3}{4}$．所以${k_1}{k_2}=-\frac{3}{4}$为定值…（12分）
方法二：（ⅰ）当直线l斜率不存在时，$B（1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）\;，\;D（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$
所以${k_1}{k_2}=\frac{{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{1-2}•\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{1-2}=-\frac{3}{4}$…（6分）
（ⅱ）当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=k（x-1），B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$消去y，得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
易知△=48k²+16＞0，${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$…（8分）
${k_1}{k_2}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{（{x_1}-2）（{x_2}-2）}}=\frac{{{k^2}（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}{{（{x_1}-2）（{x_2}-2）}}=\frac{{{k^2}[{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}]}}{{{x_1}{x_2}-2（{x_1}+{x_2}）+4}}$=$\frac{{{k^2}（4{k^2}-4-8{k^2}+1+4{k^2}）}}{{4{k^2}-4-16{k^2}+4+16{k^2}}}=-\frac{3}{4}$．
所以${k_1}{k_2}=-\frac{3}{4}$为定值…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．