Question

15．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）与直线$x-\sqrt{2}y+4=0$相切．
（1）求该抛物线的方程；
（2）在x轴正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，使得$\frac{1}{{|AM{|^2}}}+\frac{1}{{|BM{|^2}}}$为定值．如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立方程有，$\left\{{\begin{array}{l}{x-\sqrt{2}y+4=0}\\{{y^2}=2px}\end{array}}\right.$，通过△=0，求出p=4，即可求解抛物线方程．
（2）假设存在满足条件的点M（m，0）（m＞0），直线l：x=ty+m，有$\left\{{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{{y^2}=8x}\end{array}}\right.$，y²-8ty-8m=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理弦长公式，化简求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）联立方程有，$\left\{{\begin{array}{l}{x-\sqrt{2}y+4=0}\\{{y^2}=2px}\end{array}}\right.$，有${y^2}-2\sqrt{2}py+8p=0$，由于直线与抛物线相切，得△=8p²-32p=0，p=4，所以y²=8x．（4分）
（2）假设存在满足条件的点M（m，0）（m＞0），直线l：x=ty+m，有$\left\{{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{{y^2}=8x}\end{array}}\right.$，y²-8ty-8m=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
有y₁+y₂=8t，y₁y₂=-8m，$|AM{|^2}={（{x_1}-m）^2}+y_1^2=（{t^2}+1）y_1^2$，$|BM{|^2}={（{x_2}-m）^2}+y_2^2=（{t^2}+1）y_2^2$，
$\frac{1}{{|AM{|^2}}}+\frac{1}{{|BM{|^2}}}=\frac{1}{{（{t^2}+1）y_1^2}}+\frac{1}{{（{t^2}+1）y_2^2}}=\frac{1}{{（{t^2}+1）}}（\frac{y_1^2+y_2^2}{y_1^2y_2^2}）=\frac{1}{{（{t^2}+1）}}（\frac{{4{t^2}+m}}{{4{m^2}}}）$，
当m=4时，$\frac{1}{{|AM{|^2}}}+\frac{1}{{|BM{|^2}}}$为定值，所以M（4，0）．（12分）

点评 本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力．