Question

5．实数x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y-2≤0\end{array}\right.则z=\frac{y}{x+1}$的取值范围为[$\frac{1}{4}，1$]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，再由$z=\frac{y}{x+1}$的几何意义，即可行域内的动点与定点P（-1，0）连线的斜率得答案．

解答 解：由约束条件作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，解得A（3，1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，解得B（1，2）．
$z=\frac{y}{x+1}$的几何意义为可行域内的动点与定点P（-1，0）连线的斜率．
∵${k}_{PA}=\frac{1}{4}，{k}_{PB}=1$，
∴$z=\frac{y}{x+1}$的取值范围为[$\frac{1}{4}，1$]．
故答案为：[$\frac{1}{4}，1$]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．